小学计数知识学习：递推法习题八

　　例题： 平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分?

　　分析与解答：

　　直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。

　　一个圆最多将平面分为2部分;

　　二个圆最多将平面分为4部分;

　　三个圆最多将平面分为8部分;

　　当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此，二个圆最多将平面分为2+2=4部分。

　　同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此，三个圆最多将平面分为2+2+4=8部分。

　　由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最多有9×2=18个交点，第10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。因此，10个圆最多将平面分成的部分数为：

　　2+2+4+6+…+18

　　=2+2×(1+2+3+…+9)

　　=2+2×9×(9+1)÷2

　　=92

　　类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：

　　2+2+4+6+…+2(n-1)

　　=2+2×[1+2+3+…+(n-1)]

　　=2+n(n-1)

　　=n2-n+2