中考数学二次函数的复习讲解

　　一、内容：

　　二次函数的复习

　　二、教学目的：

　　1.理解二次函数的概念及性质，会画出二次函数的图象。

　　2.会用待定系数法求二次函数的解析式，用配方法和公式法求抛物线的顶点坐标和对称轴。

　　3.能利用二次函数关系式及有关性质解决比较复杂的问题。

　　三、重点、难点：

　　重点：理解二次函数的概念，能结合图像对实际问题中的函数关系进行分析。

　　难点：能用函数解决实际问题

　　［课堂教学］

　　知识要点：

　　知识点1：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象

　　二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示。

　　知识点2：二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的性质

　　（一）a的符号决定抛物线的开口方向、大小及最大值或最小值。

　　a＞0等价于开口向上等价于最小值（最低点的纵坐标）

　　a＜0等价于开口向下等价于最大值（最高点的纵坐标）

　　a越大，开口越小；a越小，开口越大。

　　（二）a，b决定抛物线的对称轴和顶点的位置。

　　b＝0等价于，对称轴是y轴，顶点在y轴上。

　　a，b同号等价于对称轴在y轴的左侧，顶点在第二或第三象限内。

　　a，b异号等价于对称轴在y轴的右侧，顶点在第一或第四象限内。

　　（三）c的符号决定抛物线与y轴交点的位置。

　　c＝0，等价于抛物线过原点。

　　c＞0，等价于抛物线交y轴的正半轴。

　　c＜0，等价于抛物线交y轴的负半轴。

　　（四）a，b，c的符号决定抛物线与x轴交点的位置。

　　抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A（x，0），B（x，0），且x＜x，△＞0.

　　a，b，c同号等价于A，B两点在x轴的负半轴上。

　　a，c同号且与b异号等价于A，B两点在x轴的正半轴。

　　b，c同号且与a异号等价于A，B两点在原点的两侧。

　　（五）△＝b－4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数。

　　△＞0，等价于抛物线与x轴有两个交点。

　　△＝0，等价于抛物线与x轴只有一个交点。

　　△＜0，等价于抛物线与x轴没有交点。

　　（六）抛物线的特殊位置与系数的关系。

　　顶点在x轴上等价于△＝0.

　　顶点在y轴上等价于b＝0.

　　顶点在原点，等价于b＝c＝0.

　　抛物线经过原点，等价于c＝0.

　　知识点3：二次函数关系式的形式及对称轴、顶点坐标。

　　（1）一般式：y＝ax＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0），其对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，）。

　　（2）顶点式：y＝a（x＋h）＋k（a，h，k是常数，且a≠0），其对称轴为直线x＝－h，顶点坐标为（－h，k）。

　　（3）交点式：y＝a（x－x）（x－x），其中a≠0，x，x是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即一元二次方程的两个根。

　　知识点4：抛物线的平移规律。

　　基本口诀：上加下减，左加右减，具体操作如下（其中m＞0，n＞0，a≠0）：

　　（1）将抛物线y＝ax＋bx＋c沿y轴向上平移m个单位，得y＝ax＋bx＋c＋m.

　　（2）将抛物线y＝ax＋bx＋c沿y轴向下平移m个单位，得y＝ax＋bx＋c－m.

　　（3）将抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向左平移n个单位，得y＝a（x＋n）2＋b（x＋n）＋c.

　　（4）将抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向右平移n个单位，得y＝a（x－n）2＋b（x－n）＋c.

　　知识点5：二次函数最值的求法。

　　（1）配方法：将解析式化为y＝a（x－h）＋k的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h，

　　当a＞0时，y有最小值，即当x＝h时，y＝k;

　　当a＜0时，y有最大值，即当x＝h时，y＝k.

　　（2）公式法：直接利用顶点坐标公式。

　　当a＞0时，y有最小值，即x＝－b/2a时，y＝4ac－b/4a

　　当a＜0时，y有最大值，即x＝－b/2a时，y＝4ac－b/4a

　　（3）判别式法：结合抛物线的性质，利用根的判别式和不等式求最值。

　　说明：二次函数实际问题求最值，一般是条件最值，应主动地求出自变量的取值范围。

　　知识点6：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。

　　（1）如图所示，当a＞0时，抛物线y＝ax＋bx＋c开口向上，它与x轴有两个交点（x，0），（x，0）。x＝x，x＝x是方程ax＋bx＋c＝0的解。x＜x，或x＞x是不等式ax＋bx＋c＞0的解集。x1＜x＜x2，是不等式ax＋bx＋c＜0的解集。

　　（2）当a＜0时，抛物线y＝ax＋bx＋c开口向下，它与x轴有两个交点（x，0），（x，0）。x＝x，x＝x是方程ax＋bx＋c＝0的解。x＜x＜x是不等式ax＋bx＋c＞0的解集。x＜x，或x＞x是不等式ax＋bx＋c＜0的解集。

　　例：选择题

　　1.函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值是－4，则a的值是（）

　　A.－4B.1C.－1D.－4或1

　　解：根据最小值的概念有：

　　∴4a（a－1）－16＝－4×4a

　　a＝1或a＝－4（舍去）

　　∴答案选B