简单的线性规划问题检测试题

　　11.已知实数x、y满足约束条件x-ay-1≥02x+y≥0x≤1(a∈R)，目标函数z=x+3y只有当x=1y=0时取得最大值，求a的取值范围.

　　解：直线x-ay-1=0过定点(1,0)，画出区域2x+y≥0，x≤1，让直线x-ay-1=0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域.平移直线x+3y=0，观察图象知必须使直线x-ay-1=0的斜率1a>0才满足要求，故a>0.

　　12.某家具厂有方木料90 m3 ，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2;生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元;出售一个书橱可获利润120元.

　　(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少?

　　(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少?

　　(3)怎样安排生产可使所获利润最大?

　　解：由题意可画表格如下：

　　方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元)

　　书桌(个) 0.1 2 80

　　书橱(个) 0.2 1 120

　　(1)设只生产书桌x张，可获利润z元，

　　则0.1x≤902x≤600x∈N*⇒x≤900x≤300x∈N*⇒x≤300，x∈N*.

　　目标函数为z=80x.

　　所以当x=300时，zmax=80×300=24000(元)，

　　即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元.

　　(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则

　　0.2y≤901•y≤600y∈N*⇒y≤450y≤600y∈N*⇒y≤450，y∈N*.

　　目标函数为z=120y.

　　所以当y=450时，zmax=120×450=54000(元)，

　　即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.

　　(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则

　　0.1x+0.2y≤902x+y≤600x≥0，x∈Ny≥0，x∈N⇒x+2y≤900，2x+y≤600，x≥0，y≥0，且x∈N，y∈N.

　　目标函数为z= 80x+120y.

　　在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ，即可行域(图略).

　　作直线l∶80x+120y=0，即直线l∶2x+3y=0(图略).

　　把直线l向右上方平移，当直线经过可行域上的直线x+2y=900,2x+y=600的交点时，此时z=80x+120y取得最大值.

　　由x+2y=9002x+y=600解得交点的坐标为(100,400).

　　所以当x=100，y=400时，

　　zmax=80×100+120×400=56000(元).

　　因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所获利润最大.

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