简单的线性规划问题检测试题

　　1.目标函数z=4x+y，将其看成直线方程时，z的几何意义是(　　)

　　A.该直线的截距

　　B.该直线的纵截距

　　C.该直线的横截距

　　D.该直线的纵截距的相反数

　　解析：选B.把z=4x+y变形为y=-4x+z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距.

　　2.若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z=x-y的最大值为(　　)

　　A.-1　　　　　　　　　　　 B.1

　　C.2 D.-2

　　答案：B

　　3.若实数x、y满足x+y-2≥0，x≤4，y≤5，则s=x+y的最大值为________.

　　解析：可行域如图所示，

　　作直线y=-x，当平移直线y=-x

　　至点A处时，s=x+y取得最大值，即smax=4+5=9.

　　答案：9

　　4.已知实数x、y满足y≤2xy≥-2x.x≤3

　　(1)求不等式组表示的平面区域的面积;

　　(2)若目标函数为z=x-2y，求z的最小值.

　　解：画出满足不等式组的可行域如图所示：

　　(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，-6)，

　　所以三角形OAB的面积为：

　　S△OAB=12×12×3=18.

　　(2)目标函数化为：y=12x-z2，画直线y=12x及其平行线，当此直线经过A时，-z2的值最大，z的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为3-2×6=-9.

　　一、选择题

　　1.z=x-y在2x-y+1≥0x-2y-1≤0 x+y≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为(　　)

　　A.(0,1) B.(-1，-1)

　　C.(1,0) D.(12，12)

　　解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x=0，y=1时，z=-1;当x=-1，y=-1时，z=0;当x=1，y=0时，z=1;当x=12，y=12时，z=0.排除A，B，D.

　　2.(2010年高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-y+1≥0，则x+y的最大值为(　　)

　　A.9 B.157

　　C.1 D.715

　　解析：选A.画出可行域如图：

　　令z=x+y，可变为y=-x+z，

　　作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大.

　　由2x-y-3=0，x-y+1=0，得A(4,5)，∴zmax=4+5=9.

　　3.在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(-1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m=y-x的取值范围为(　　)

　　A.[1,3] B.[-3,1]

　　C.[-1,3] D.[-3，-1]

　　解析：选C.直线m=y-x的斜率k1=1≥kAB=23，且k1=1

　　∴直线经过C时m最小，为-1，

　　经过B时m最大，为3.

　　4.已知点P(x，y)在不等式组x-2≤0y-1≤0x+2y-2≥0表示的平面区域内运动，则z=x-y的取值范围是(　　)

　　A.[-2，-1] B.[-2,1]

　　C.[-1,2] D.[1,2]

　　解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，

　　∵z=x-y，∴y=x-z.

　　由图知截距-z的范围为[-2，1]，∴z的范围为[-1,2].

　　5.设动点坐标(x，y)满足?x-y+1??x+y-4?≥0，x≥3，y≥1.则x2+y2的最小值为(　　)

　　A.5 B.10

　　C.172 D.10

　　解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10.

　　6.(2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是(　　) w w w .x k b 1.c o m

　　A.12万元 B.20万元

　　C.25万元 D.27万元

　　解析：选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z=5x+3y.

　　由题意得

　　x≥0，y≥0，3x+y≤13，2x+3y≤18，可行域如图阴影所示.

　　由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x=3，y=4，z=5×3+3×4=27(万元).

　　二、填空题

　　7.点P(x，y)满足条件0≤x≤10≤y≤1，y-x≥12则P点坐标为________时，z=4-2x+y取最大值________.

　　解析：可行域如图所示，新课标第一网

　　当y-2x最大时，z最大，此时直线y-2x=z1，过点A(0,1)，(z1)max=1，故当点P的坐标为(0,1)时z=4-2x+y取得最大值5.

　　答案：(0,1)　5

　　8.已知点P(x，y)满足条件x≥0y≤x2x+y+k≤0(k为常数)，若x+3y的最大值为8，则k=________.

　　解析：作出可行域如图所示：

　　作直线l0∶x+3y=0，平移l0知当l0过点A时，x+3y最大，由于A点坐标为(-k3，-k3).∴-k3-k=8，从而k=-6.

　　答案：-6

　　9.(2010年高考陕西卷)铁矿石A和B的含铁率a，，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

　　a b/万吨 c/百万元

　　A 50% 1 3

　　B 70% 0.5 6

　　某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元).

　　解析：设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z=3x+6y.

　　由题意可得约束条件为12x+710y≥1.9，x+12y≤2，x≥0，y≥0.

　　作出可行域如图所示：

　　由图可知，目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin=3×1+6×2=15

　　答案：15

　　三、解答题

　　10.设z=2y-2x+4，式中x，y满足条件0≤x≤10≤y≤22y-x≥1，求z的最大值和最小值.

　　解：作出不等式组0≤x≤10≤y≤22y-x≥1的可行域(如图所示).

　　令t=2y-2x则z=t+4.

　　将t=2y-2x变形得直线l∶y=x+t2.

　　则其与y=x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大;当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小.

　　∴zmax=2×2-2×0+4=8，

　　zmin=2×1-2×1+4=4.

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