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数学教案-直线的方程

12-26 23:19:12   浏览次数:754  栏目:高二数学教案

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www.quxue6.com (二)本节主体内容教学的设计
  这是本节课要解决的第一个问题,如何解决?自己先研究研究,也可以小组研究,确定解决问题的思路.
  学生或独立研究,或合作研究,教师巡视指导.
  经过一定时间的研究,教师组织开展集体讨论.首先让学生陈述解决思路或解决方案:
思路一:…
思路二:…
……
教师组织评价,确定最优方案(其它待课下研究)如下:
按斜率是否存在,任意直线 的位置有两种可能,即斜率 存在或不存在.
存在时,直线 的截距 也一定存在,直线 的方程可表示为  ,它是二元一次方程.
不存在时,直线 的方程可表示为  形式的方程,它是二元一次方程吗?
学生有的认为是有的认为不是,此时教师引导学生,逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性:
  平面直角坐标系中直线  上点的坐标形式,与其它直线上点的坐标形式没有任何区别,根据直线方程的概念,方程  解的形式也是二元方程的解的形式,因此把它看成形如  的二元一次方程是合理的.
  综合两种情况,我们得出如下结论:
  在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一条表示这条直线的关于    的二元一次方程.

至此,我们的问题1就解决了.简单点说就是:直线方程都是二元一次方程.而且这个方程一定可以表示成    的形式,准确地说应该是“要么形如  这样,要么形如  这样的方程”.

同学们注意:这样表达起来是不是很啰嗦,能不能有一个更好的表达?
学生们不难得出:二者可以概括为统一的形式.
  这样上边的结论可以表述如下:
  在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一条表示这条直线的形如  (其中 不同时为0)的二元一次方程.
启发:任何一条直线都有这种形式的方程.你是否觉得还有什么与之相关的问题呢?
  【问题2】任何形如  (其中 不同时为0)的二元一次方程都表示一条直线吗?
  不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面,这个问题是它的另一方面.这是显然的吗?不是,因此也需要像刚才一样认真地研究,得到明确的结论.那么如何研究呢?
  师生共同讨论,评价不同思路,达成共识:
  回顾上边解决问题的思路,发现原路返回就是非常好的思路,即方程  (其中 不同时为0)系数 是否为0恰好对应斜率 是否存在,即
  (1)当 时,方程可化为      
  
这是表示斜率为  、在 轴上的截距为  的直线.
  (2)当  时,由于  不同时为0,必有 ,方程可化为
 

  这表示一条与 轴垂直的直线.

  因此,得到结论:

  在平面直角坐标系中,任何形如  (其中 不同时为0)的二元一次方程都表示一条直线.

  为方便,我们把  (其中    不同时为0)称作直线方程的一般式是合理的.

【动画演示】
  演示“直线各参数.gsp”文件,体会任何二元一次方程都表示一条直线.
  至此,我们的第二个问题也圆满解决,而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面,这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系,同时,直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括,而且抽象的层次越高越简洁,我们还体会到了特殊与一般的转化关系.
(三)练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略





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