随机事件概念、知识点及练习题

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　　【性质与概念】

　　性质：

　　在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一个随机事件，可用A={正面向上}表示。

　　随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点，记作ωi。全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作Ω.即Ω={ω1，ω2，…，ωn，…}。仅含一个样本点的随机事件称为基本事件，含有多个样本点的随机事件称为复合事件。

　　1)

　　在随机试验中，随机事件一般是由若干个基本事件组成的。样本空间Ω的任一子集A称为随机事件。属于事件A的样本点出现，则称事件A发生。

　　例如，在试验E中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件，A还可以用样本点的集合形式表示，即A={1，3，5}，它是样本空间Ω的一个子集，在试验W中，令B表示“灯泡的寿命大于1000小时”，B也是一个随机事件，B也可用样本点的集合形式表示，即B={t|t>1000}，B也是样本空间的一个子集。

　　2)

　　因此在理论上，我们称试验E所对应的样本空间Ω的子集为E的一个随机事件，简称事件。在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。

　　样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}也是一种随机事件，这种事件称为基本事件。

　　例如，在试验A中{H}表示“正面朝上”，这是基本事;在试验B中{3}表示“掷得3点”，这也是基本事件;在试验C中{5}表示“测量的误差是0.5”，这还是一个基本事件。

　　样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次的试验中它总是发生，称为必然事件，必然事件仍记为Ω，空集∮不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集。在每次试验中都不发生，称为不可能事件，必然事件和不可能事件在不同的试验中有不同的表达方式。

　　综上所述，随机事件可能有不同的表达方式：一种是直接用语言描述，同一事件可能有不同的描述;也可以用样本空间子集的形式表示，此时，需要理解它所表达的实际含义，有利于对事件的理解。

　　特点：

　　1.可以在相同的条件下重复进行;

　　2.每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果;

　　3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

　　特殊事件：

　　必然事件记作Ω，样本空间Ω也是其自身的一个子集，Ω也是一个“随机”事件，每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现，必然发生。

　　不可能事件记作Φ，空集Φ也是样本空间的一个子集，Φ也是一个特殊的“随机”事件，不包含任何样本点，不可能发生。

　　事件关系：

　　事件A是事件B的子事件，事件A发生必然导致事件B发生，事件A的样本点都是事件B的样本点，记作A⊂B。

　　若A⊂B且B⊂A，那么A=B，称A和B为相等事件，事件A与事件B含有相同的样本点。

　　和事件发生，即事件A发生或事件B发生，事件A与事件B至少一个发生，由事件A与事件B所有样本点组成，记作A∪B。

　　积事件发生，即事件A和事件B同时发生，由事件A与事件B的公共样本点组成，记作AB或A∩B。

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　　事件种类：

　　互斥事件(互不相容事件)事件A与事件B，AB=Φ，事件A与事件B不能同时发生，事件A与事件B没有公共的样本点。

　　事件A的对立事件，事件A不发生，事件A的对立事件是由不属于事件A的样本点组成，记作ā。

　　差事件发生，即事件A发生且事件B不发生，是由属于事件A但不属于事件B的样本点组成，记作A-B。

　　运算：

　　(1)交换律：A∪B=B∪A、AB=BA

　　(2)结合律：( A∪B )∪C=A∪( B∪C )

　　(3)分配律：A∪( BC )=( A∪B )( A∪C )

　　A( B∪C )=( AB )∪( AC )

　　(4)摩根律：A B=A∪B、A ∪ B=A B

　　在随机事件中，有许多事件，而这些事件之中又有联系，分析事件之间的关系，可以帮助我们更加深刻地认识随机事件;给出的事件的运算及运算规律，有助于我们讨论复杂事件。

　　既然事件可用集合来表示，那么事件的关系和运算自然应当按照集合论中集合之间的关系和集合的运算来处理。下面给出这些关系 和运算在概率论中的提法，并根据“事件发生”的含义，给它们的概率意义。

　　1)事件包含

　　设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含在事件B中，记作A⊂B。

　　显然有：∮⊂A⊂Ω。

　　2)和事件

　　称事件“A、B中至少有一个发生”为事件A和事件B的和事件，也称A与B的并，记作A∪B或A+B，A∪B发生意味着：或事件A发生，或事件B发生，或都发生。显然有：

　　①A⊂A∪B，B⊂A∪B;

　　②若A⊂B，A∪B=B

　　3)积事件

　　称事件“A、B同时发生”为事件A与事件B的积事件，也称A与B的交，记作A∩B，简记为AB。事件AB发生意味着事件A发生且事件B也发生，也就是说A，B都发生。

　　显然有：

　　①AB⊂A，AB⊂B

　　②若A⊂B，则AB=A

　　4)差事件

　　称事件“A发生而B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A—B，

　　显然有：

　　①A—B⊂A

　　②若A⊂B，则A—B=∮

　　注意在定义事件差的运算时，并未要求一定有B⊂A，也就是说，没有包含关系B⊂A，照样可作差运算A—B。

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