圆的标准方程概念、知识点及练习题

　　【概念及知识点】

　　一、圆的方程

　　X²+Y²=1 ，圆心O(0，0)被称为1单位圆

　　x²+y²=r²，圆心O(0，0)，半径r;

　　(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心O(a，b)，半径r。

　　确定圆方程的条件

　　圆的标准方程中(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

　　确定圆的方程的方法和步骤

　　确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：

　　根据题意，设所求的圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²;

　　根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组;

　　解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。

　　二、方程推导

　　(x-a)²+(y-b)²=r²

　　在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。

　　圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。

　　所以√[(x-a)²+(y-b)²]=r

　　两边平方，得到

　　即(x-a)²+(y-b)²=r²

　　三、一般式

　　x²+y²+Dx+Ey+F=0

　　此方程可用于解决两圆的位置关系

　　配方化为标准方程：(x+D/2)².+(y+E/2)²=( (D²+E²-4F)/4 )

　　其圆心坐标：(-D/2,-E/2)

　　半径为r=[√(D²+E²-4F)]/2

　　此方程满足为圆的方程的条件是:

　　D²+E²-4F>0

　　若不满足,则不可表示为圆的方程

　　已知直径的两个端点坐标A(m，n)B(p，q)设圆上任意一点C(x，

　　Y)。则有：向量AC*BC=0 可推出方程：(X-m)*(X-p)+(Y-n)*(Y-q)=0 再整理即可得出一般方程。

　　四、点与圆

　　点P(X1,Y1) 与圆 (x-a)^2+(y-b) ^2=r^2的位置关系：

　　⑴当(x1-a)²+(y1-b) ²>r²时，则点P在圆外。

　　⑵当(x1-a)+(y1-b) ²=r²时，则点P在圆上。

　　⑶当(x1-a)²+(y1-b) ²

　　五、圆与直线

　　平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

　　1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

　　如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

　　如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

　　如果b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

　　2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为 (x-a)²+(y-b) ²=r²。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1

　　当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;

　　当x1

　　半径r，直径d

　　在直角坐标系中，圆的标准方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²;

　　x²+y²+Dx+Ey+F=0

　　=> (x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4

　　=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

　　其实只要保证X方Y方前系数都是1

　　就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)

　　这可以作为一个结论运用的

　　且r=根号(圆心坐标的平方和-F)

　　【练习题】

　　1.若直线4x-3y-2=0与圆x²+y²-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是( )

　　A.-3<a<7 B.-6<a<4C.-7<a<3 D.-21<a<19

　　2.圆(x-3)²+(y-3)²=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )

　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

　　3.过点P(2，1)且与圆x²+y²-2x+2y+1=0相切的直线的方程为______

　　4.设集合m={(x,y)|x²+y²≤25},N={(x,y)|(x-a)²+y²≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是_____

　　5.已知P(3，0)是圆x²+y²-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是( )，过点P的最长弦所在直线方程是______

　　【参考答案】

　　1.B

　　2.C

　　3.x=2或3x-4y-2=0

　　4.-2≤a≤2

　　5.x+y-3=0，x-y-3=0