12-26 23:18:37 浏览次数:707次 栏目:高二数学
一、求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程 或 (a、b>0),通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法. 例1 求与双曲线 有公共渐近线,且过点 的双曲线的共轭双曲线方程. 解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ,将点 代入,得 ,∴双曲线方程为 ,由共轭双曲线的定义,可得此双曲线的共轭双曲线方程为 . 评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地,与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 (kR,且k≠0);有公共焦点的双曲线方程可设为 ,本题用的是待定系数法. 例2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 ,它的两焦点分别为F1、F2,直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ,且 , 与线段F1F2的垂直平分线的交点为P,线段PF2与双曲线的交点为Q,且 ,建立适当的坐标系,求双曲线的方程. 解 以F1F2的中点为原点,F1、F2所在直线为x轴建立坐标系,则所求双曲线方程为 (a>0,b>0),设F2(c,0),不妨设 的方程为 ,它与y轴交点 ,由定比分点坐标公式,得Q点的坐标为 ,由点Q在双曲线上可得 ,又 , ∴ , ,∴双曲线方程为 . 评 此例用的是直接法. 二、双曲线定义的应用 1、第一定义的应用 例3 设F1、F2为双曲线 的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=900,求ΔF1PF2的面积. 解 由双曲线的第一定义知, ,两边平方,得 . ∵∠F1PF2=900,∴ , ∴ , ∴ . 2、第二定义的应用 例4 已知双曲线 的离心率 ,左、右焦点分别为F1、F2,左准线为l,能否在双曲线左支上找到一点P,使 是 P到l的距离d与 的比例中项? 解 设存在点 ,则 ,由双曲线的第二定义,得 , ∴ , ,又 , 即 ,解之,得 , ∵ , ∴ , 矛盾,故点P不存在. 评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径 、 或其关系,解题过程将复杂得多. 三、双曲线性质的应用 例5 设双曲线 ( )的半焦距为c, 直线l过(a,0)、(0,b)两点,已知原点到 的距离为 , 求双曲线的离心率. 解析 这里求双曲线的离心率即求 ,是个几何问题,怎么把 题目中的条件与之联系起来呢?如图1, ∵ , , ,由面积法知ab= ,考虑到 , 知 即 ,亦即 ,注意到a<b的条件,可求得 . 四、与双曲线有关的轨迹问题 例6 以动点P为圆心的圆与⊙A: 及⊙B: 都外切,求点P的轨迹方程. 解 设动点P(x,y),动圆半径为r,由题意知 , , . ∴ .∴ , ,据 双曲线的定义知,点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支,方程为 : . 例 7 如图2,从双曲线 上任一点Q引直线 的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程. 解析 因点P随Q的运动而运动,而点Q在已知双曲线上, 故可从寻求 Q点的坐标与P点的坐标之间的关系入手,用转移法达到目的. 设动点P的坐标为 ,点Q的坐标为 , 则 N点的坐标为 . ∵点 N在直线 上,∴ ……① 又∵PQ垂直于直线 ,∴ , 即 ……② 联立 ①、②解得 .又∵点N 在双曲线 上, ∴ , 即 ,化简,得点P的轨迹方程为: . 五、与双曲线有关的综合题 例8 已知双曲线 ,其左右焦点分别为F1、F2,直线l过其右焦点F2且与双曲线 的右支交于A、B两点,求 的最小值. 解 设 , ,( 、 ).由双曲线的第二定义,得 , , ∴ , 设直线l的倾角为θ,∵l与双曲线右支交于两点A、B,∴ . ①当 时,l的方程为 ,代入双曲线方程得 . 由韦达定理得: . ∴ . ②当 时,l的方程为 ,∴ ,∴ . 综①②所述,知所求最小值为 .,高二数学知识点总结:双曲线方程典例分析