抛物线概念、知识点及练习题

　　【概念及知识点】

　　一、定义

　　平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

　　二、标准方程

　　1、标准方程

　　右开口抛物线：y2=2px

　　左开口抛物线：y2= -2px

　　上开口抛物线：x2=2py， y=ax2(a0)

　　下开口抛物线：x2=-2py， y=ax2(a0)

　　[p为焦准距(p>0)]

　　2、特点

　　在抛物线y2=2px中，焦点是(p/2，0)，准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0;

　　在抛物线y2= -2px 中，焦点是( -p/2，0)，准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0;

　　在抛物线x2=2py 中，焦点是(0，p/2)，准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0;

　　在抛物线x2= -2py中，焦点是(0，-p/2)，准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0;

　　3、四种方程的异同

　　抛物线四种方程的异同：

　　共同点：

　　①原点在抛物线上; ②对称轴为坐标轴;

　　③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

　　不同点：

　　①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2;对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2;

　　②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程的右端取正号;开口方向与x(或y轴)的负半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号。

　　三、相关参数

　　(对于向右开口的抛物线)

　　离心率：e=1(恒为定值，为抛物线上一点与准线的距离以及该点与焦点的距离比)

　　焦点:(p/2，0)

　　准线方程l:x=-p/2

　　顶点：(0，0)

　　通径：2P ;定义：圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦

　　定义域：对于抛物线y2=2px，p>0时，定义域为x≥0，p<0时，定义域为x≤0;对于抛物线x2=2py，定义域为R。

　　值域：对于抛物线y2=2px，值域为R，对于抛物线x2=2py，p>0时，值域为y≥0，p<0时，值域为y≤0。

　　四、术语解释

　　准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

　　轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。

　　弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。

　　焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。

　　正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。

　　直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。

　　主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。

　　抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线

　　五、解析式求法

　　以交点在X轴上为例

　　知道P(x0，y0)

　　令所求为y2=2px

　　则有y02=2px0

　　∴2p=y02/x0

　　∴抛物线为y2=(y02/x0)x

　　六、光学性质

　　经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线(面)的这个性质，让光源处在焦点处以发射出(准)平行光。

　　对于圆、抛物线、椭圆三种曲线，他们的光学性质有一定的规律性：圆将所有从圆心射出的光线反射回圆心，抛物线反射成平行线，而椭圆将从一个焦点发出的光反射到另一个焦点。

　　七、准线式方程

　　焦点准线式(标准方程)

　　焦点：F(m,n)

　　准线：L：ax+by+c=0
　　方程为：=

　　整理得　b2x2-2abxy+a2y2-2(ac+ma2+mb2)x-2(bc+na2+nb2)y+(m2+n2)(a2+b2)-c2=0

　　八、面积和弧长公式

　　面积 Area=2ab/3

　　弧长 Arc length ABC

　　=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)

　　若O(0,0),M(x,y)是抛物线y^2=2px上两点，抛物线的弧OM的弧长

　　弧长 L=(p/2)*{√[(2x/p)*(1+2x/p)]+ln[√(2x/p)+√(1+2x/p)]}

　　九、其他

　　抛物线：y = ax2 + bx + c (a≠0)

　　就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c

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