初三数学期末备考：总复习策略

　　1.动态几何综合题解法——以不变应万变

　　例题一：操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以

　　DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF.

　　（1）你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论。

　　（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，

　　猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？

　　（3）深入探究：

　　Ⅰ。如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在

　　BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并

　　证明你探究的结论。

　　Ⅱ。如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成

　　立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论。

　　考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

　　分析：

　　（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得

　　△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD；

　　（）通过证明BCD≌2ACF，即可证明AF=BD；

　　（3）Ⅰ。AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD

　　（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB；

　　Ⅱ。Ⅰ中的结论不成立。新的结论是AF=AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全

　　等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′。

　　解答：解：（1）AF=BD；

　　证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；

　　同理知，DC=CF，∠DCF=60°；∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF；

　　在△BCD和△ACF中，BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=FC，∴△BCD≌△ACF（SAS），

　　∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；

　　（2）证明过程同（），证得BCD≌1ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，

　　当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；

　　（3）Ⅰ。AF+BF′=AB；

　　证明如下：由（）知，BCD≌1ACF（SAS），则BD=AF；

　　同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，∴AF+BF′=BD+AD=AB.

　　Ⅱ。Ⅰ中的结论不成立。新的结论是AF=AB+BF′；

　　证明如下：在△BCF′和△ACD中，BC=AC，∠BCF′=∠ACD，F′C=DC，

　　∴△BCF′≌△ACD（SAS），∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；

　　又由（2）知，AF=BD；∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′。

　　【点评】关于本题考查的知识点，很多同学都认为是等边三角形和全等三角形，这是浮于表面的，我

　　们需要看到是内在的知识点，而内在的东西就需要靠我们自己去总结去整理。经过细心分析你会发现，我

　　们可以把这道题归类为缩量变化问题，就是说，实际上在图形的变化过程中，并非是全等变形，而是在缩

　　放变形。因为条件的一致性，所以必然产生解题思想的一致性，所以，解决本题的关键是快速找到第一问

　　的解题思路。那么如何理解此题的“以不变应万变”呢？我们发现无论图形如何变化，等边△ABC始终发

　　生变化，只有D点始终在线段AB或者射线BA上运动，从而制造图形变化。根据缩量变化的原则，缩放

　　前后的图形做一个简单的对比，立即可以发现△CDF和△ABC之间的关系，第一问迎刃而解。进而根据

　　解题思想的一致性，下面的问题都可以借鉴第一问解出来。

　　注意：解决此类问题需要几个方面的能力：①对试题整体把控的能力。阅读完试题之后能够对试题进

　　行定位，从而快速找到解题思路。②空间想象能力。通过对题目的分析，在观察图形时要做到固定不变的

　　图形，映射变化的图形，找到变与不变的关系。③对旋转变化图形的观察分析能力。旋转图形都有旋转几

　　点或者叫中心，图形的旋转变化过程就可以产生图形的全等和相似问题。④最后要说的是注意这样一个问

　　题，如果题目给我们的是等边三角形，除了要考虑三条边相等之外，还要考虑60度角的作用；如果告诉

　　我们的是等腰直角三角形，除了要考虑等腰之外，还要考虑45度角的作用，多数同学会忽略这个问题。