对数函数概念、知识点及练习题

【概念与知识点】

一、定义

　　在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数，则值为虚数)，底数则要大于0且不为1。

　　对数函数的底数为什么要大于0且不为1?　【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义： log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2，3，4，5，等等)】

　　通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm)，并且把logeN 记为In N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：

　　当a>0，a≠1时，aX=N→X=logaN。(N>0)

　　由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

　　在实数范围内，负数和零没有对数

　　logaa=1 log以a为底a的对数为1(a为常数) 恒过点(1，0)

二、函数性质

　　定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1

　　和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

　　值域：实数集R，显然对数函数无界。

　　定点：函数图像恒过定点(1，0)。

　　单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数;

　　0 <a<1时，在定义域上为单调减函数。

　　奇偶性：非奇非偶函数

　　周期性：不是周期函数

　　对称性：无

　　最值：无

　　零点：x=1

　　注意：负数和0没有对数。

　　两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

　　也就是说：若y=logab (其中a>0,a≠1，b>0)

　　当<a<1,0<b<1时，y=logab>0;

　　当a>1, b>1时，y=logab>0;

　　当0<a<1,b>1时，y=logab<0;

　　当a>1, 0 <b<1时，y=logab<0。

　　指数函数的求导:

　　e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)x=2.718281828...

　　设a>0,

　　a!=1----(log a(x))'

　　=lim(Δx→0)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)

　　=lim(Δx→0)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))

　　=lim(Δx→0)(1/x*log a((1+Δx/x)x/Δx))

　　=1/x*lim(Δx→0)(log a((1+Δx/x)x/Δx))

　　=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)x/Δx)

　　=1/x*log a(e)

　　特殊地，当a=e时，(log a(x))'=(ln x)'=1/x。

　　----设y=ax两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a

　　特殊地，当a=e时，y'=(ax)'=(ex)'=e^ln ex=ex。

三、运算性质

　　一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

　　底数则要>0且≠1 真数>0

　　并且，在比较两个函数值时：

　　如果底数一样，真数越大，函数值越大。(a>1时)

　　如果底数一样，真数越小，函数值越大。(0

　　当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：

　　(1)loga(MN)=logaM+logaN;

　　(2)loga(M/N)=logaM-logaN;

　　(3)logaMn=nlogaM(n∈R)

　　(4)

　　(5)换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)

　　(6)a(log(b)n)=n(log(b)a) 证明：

　　设a=nx则alog(b)n=(nx)log(b)n=n(x*log(b)n)=nlog(b)(n^x)=n(log(b)a)

　　(7)对数恒等式：alog(a)N=N;log(a)ab=b

　　(8)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

　　1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

　　2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

　　3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

　　4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,

　　log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M

　　5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

四、表达方式

　　(1)常用对数：lg(b)=log10b(10为底数)

　　(2)自然对数:ln(b)=logeb(e为底数)

　　e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828　对数函数的定义

五、与指数的关系

　　同底的对数函数与指数函数互为反函数

　　当a>0且a≠1时，ax=N x=㏒(a)N

　　关于y=x对称

　　对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

　　对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数)，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1)，右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 关于X轴对称、

　　可以看到对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

　　【练习题】

　　1、

　　2、

　　3、

　　【参考答案】

　　1、B

　　2、C

　　3、