初三数学反比例函数经典例题剖析

　　例题：如图，△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，一次函数y=3x-4的图像经过点A，交y轴于点C，反比例函数y=k/x（x>0）的图像也经过点A.

　　1）求反比例函数的解析式。

　　2）过O点作OD⊥AC于点D，求CD?-AD?的值。

　　3）设点P（1，0），在反比例函数的图像上是否存在点Q，使得△PAQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标（写出一个即可）；若不存在，请说明理由。

　　解析：解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，△AOB是等腰直角三角形，∴AM=AN.

　　设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上，

　　∴a=3a-4，

　　解得a=2，

　　则点A的坐标为（2，2）。

　　设此反比例函数的解析式为y= x/k.将点A（2，2）代入，求得k=4.

　　则反比例函数的解析式为y= 4/x.

　　（2）点A的坐标为（2，2），在Rt△AMO中，AO2=AM2+MO2=4+4=8.

　　∵直线AC的解析式为y=3x-4，则点C的坐标为（0，-4），OC=4.

　　在Rt△COD中，OC2=OD2+CD2（1）；

　　在Rt△AOD中，AO2=AD2+OD2（2）；

　　（1）-（2），得CD2-AD2=OC2-OA2=16-8=8.

　　（3）双曲线上是存在一点Q（4，1），使得△PAQ是等腰直角三角形。过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，则△APQ为所求作的等腰直角三角形。

　　在△AOP与△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，

　　∴∠OAP=∠BAQ，

　　AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°，

　　∴△AOP≌△ABQ（ASA），

　　∴AP=AQ，

　　∴△APQ是所求的等腰直角三角形。

　　∵B（4，0），点Q在双曲线y= 4/x上，

　　∴Q（4，1），则OP=BQ=1.

　　则点P、Q的坐标分别为（1，0）、（4，1）。