初三数学专项训练：几何证明题

　　1.在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。

　　证明：∠MDC≤45°。

　　2.设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧 上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ。

　　3.设P三角形BC内部一点， 且∠PBA=10°， ∠BAP=20°，∠PCB=30°， ∠CBP=40°。

　　求证三角形BC是等腰三角形。

　　答案：

　　1.设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM，  ∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。又  2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，  ∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。

　　2.连结NQ交AB于C，连结SC、SQ。易知C、Q、S、M四点共圆，且CS是该圆的直径，于是CS>MQ。再证Rt△SMC≌Rt△SMR，从而CS=RS，故有RS>MQ.

　　证明 设∠BCP=x,则∠CBP=80°-x.

　　由塞瓦定理的等价式得：

　　sin20°*sin40°*sin（80°-x）=sin10°*sin30°*sinx<====>

　　4cos10°*sin40°*（sin80°*cosx-sinx*cos80°=sinx<====>

　　tanx=（4cos10°*sin40°*sin80°）/（4cos10°*sin40°*cos80°+1）注意下面三角恒等变换：

　　4cos10°*sin40°*cos80°+1

　　=2sin40°cos70°+1=2cos50°cos70°+1

　　=1+cos120°+cos20°=1/2+cos20°，

　　4cos10°*sin40°*sin80°=2cos10°*（cos40°-cos120°）=cos10°+2cos10°*cos40°=cos10°+cos30°+cos50°=cos30°+2cos20°*cos30°=cos30°（1+2cos20°）=√3*（1/2+cos20°）

　　故得：tanx=√3 即 x=60°。

　　所以∠ACB=80°-60°+30°=50=∠BAC.

　　因此三角形ABC是等腰三角形。