初三数学教案：二次函数与一元二次方程

　　二次函数与一元二次方程

　　23.4 二次函数与一元二次方程

　　教学目标：

　　掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。

　　重点、难点：

　　二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。

　　教学过程：

　　一、 情境创设

　　一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标

　　问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？

　　问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？

　　二、探索活动

　　活动一 观察

　　在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。

　　活动二 观察与探索

　　如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题：

　　（1）图象与x轴的交点的坐标为A （ ， ），B（ ， ）

　　（2）当x= 时，函数值y=0。

　　（3）求方程x2-x-6=0的解。

　　（4）方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？

　　活动三 猜想和归纳

　　（1）你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。

　　（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？

　　这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。

　　三、例题分析

　　例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。

　　（1） y=x2-10x+25

　　（2） y=3x2-4x+2

　　（3） y=-2x2+3x-1

　　例2.已知二次函数y=mx2+x-1

　　（1）当m为何值时，图象与x轴有两个交点

　　（2）当m为何值时，图象与x轴有一个交点？

　　（3）当m为何值时，图象与x轴无交点？

　　四、拓展练习

　　1. 如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。

　　（1）请写出方程ax2+bx+c=0的根

　　（2）列举一个二次函数，使其图象与x轴交于（1,0）和（4, 0），且适合这个图象。

　　2. 列举一个二次函数，使其图象开口向上，且与x轴交于（-2,0）和（1,0）

　　五、小结

　　这节课我们有哪些收获？

　　六、作业

　　求证：二次函数y= x2+ax+a-2的图象与x轴一定有两个不同的交点。