勾股定理的逆定理概念、知识点及练习题

　　证法6(欧几里得(Euclid)射影定理证法)

　　如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高 　通过证明三角形相似则有射影定理如下：　⑴(BD)2;=AD·DC， 　⑵(AB)2;=AD·AC ， 　⑶(BC)2;=CD·AC。　由公式⑵+⑶得：(AB)2;+(BC)2;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)2;， 　图1即 (AB)2;+(BC)2;=(AC)2，这就是勾股定理的结论。　 图1

　　证法7

　　在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子：　4×(ab/2)+(b-a)2;=c2;　 　化简后便可得：a2;+b2;=c2; 　亦即：c=(a2;+b2;)1/2 　勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。　中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。　在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。　在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”. 　前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。　1 周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。　2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於《汉学研究》， 1989年第7卷第1期，255-281页。　3. 李国伟： 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》， 台湾，1991年7月， 227-234页。　4. 李继闵：商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。　5. 曲安京： 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷， 台湾，1996年9月第3期， 20-27页

　　证法8

　　达芬奇的证法

　　三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。　证明：　第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 　第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 　因为S1=S2 　所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E' 　又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF 　所以OF2+OE2=E'F'2 　因为E'F'=EF 　所以OF2+OE2=EF2 　勾股定理得证。

　　证法9

　　从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：

　　b (a + b)= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 　矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直 　角三角形。　(简化) 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 　2b2; - b2;+ a2;= c2; 　a2; + b2;= c2; 　注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。

　　简介

　　勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。(毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”)，法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比中国晚，中国是最早发现这一几何宝藏的国家。初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。　勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。

　　勾股定理指出

　　直角三角形两直角边(即“勾”“股”短的为勾，长的为股)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。　也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么 　a的平方+b的平方=c的平方　a2+b2=c2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。　中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。

　　勾股数组

　　满足勾股定理方程a2+b2=c2;的正整数组(a，b，c)。例如(3，4，5)就是一组勾股数组。　由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。　勾股数组的通式：　a=M2-N2 　b=2MNc=M^2+N^2 　(M>N,M,N为正整数)

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