勾股定理的逆定理概念、知识点及练习题

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　　【性质与概念】

　　性质：

　　⒈如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

　　2.勾股定理是余弦定理的特殊情况。

　　概念：

　　勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。如果a²+b²< p="">

　　【证明】

　　证法1

　　作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上(设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.)。过点C作AC的延长线交DF于点P. 　∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， 　∴ ∠EGF = ∠BED， 　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， 　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， 　∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 　又∵ AB = BE = EG = GA = c， 　∴ ABEG是一个边长为c的正方形。　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° 　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， 　∴ ∠ABC = ∠EBD. 　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 　即 ∠CBD= 90° 　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， 　BC = BD = a. 　∴ BDPC是一个边长为a的正方形。　同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 　设多边形GHCBE的面积为S，则 　A2+B2=C2

　　证法2

　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 　过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 　过点B作BM⊥PQ，垂足为M;再过点 　F作FN⊥PQ，垂足为N. 　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， 　∴ ∠MPC = 90°， 　∵ BM⊥PQ， 　∴ ∠BMP = 90°， 　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， 　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， 　∴ ∠， 　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， 　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2

　　证法3

　　作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， 　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， 　∴FI=a， 　∴G,I,J在同一直线上， 　∵CJ=CF=a，CB=CD=c， 　∠CJB = ∠CFD = 90°， 　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， 　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE 　∴∠ABG = ∠BCJ，　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， 　∴∠ABG +∠CBJ= 90°，　∵∠ABC= 90°， 　∴G,B,I,J在同一直线上， 　A2+B2=C2。

　　证法4

　　作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 　BF、CD. 过C作CL⊥DE， 　交AB于点M，交DE于点L. 　∵ AF = AC，AB = AD， 　∠FAB = ∠GAD， 　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 　∵ ΔFAB的面积等于， 　ΔGAD的面积等于矩形ADLM 　的面积的一半， 　∴ 矩形ADLM的面积 =. 　同理可证，矩形MLEB的面积 =. 　∵ 正方形ADEB的面积 　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 　∴ 即A2+B2=C2

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　　证法5

　　《几何原本》中的证明 　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。　其证明如下：　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²;。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2;。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2;。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

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