四年级奥数解析（二十九）容斥原理

《奥赛天天练》第26讲《容斥原理》。

日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。在三年级奥数课堂已经初步学习了运用容斥原理（一）解决简单的重叠问题，相关知识点请查阅

本讲在三年级学习的《重叠问题》的基础上，进一步学习运用容斥原理（一）解决稍复杂一点的重叠问题。解答问题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。

《奥赛天天练》第26讲，模仿训练，练习1

【题目】：

两个边长分别为5厘米，3厘米的正方形重叠在一起，重叠部分的面积为1平方厘米。求这个图所能覆盖的面积。

【解析】：

先求出两个正方形的面积，分别是：5×5=25（平方厘米）；3×3=9（平方厘米）。根据容斥原理一，可得所求覆盖面积为：25+9-1=33（平方厘米）。

《奥赛天天练》第26讲，巩固训练，习题1

【题目】：

在一次校运动会上，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛又参加径赛的7人，没有参加比赛的有21人，那么这个班有多少人？

【解析】：

先画出参赛情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A所在的椭圆表示参加田赛的人数15人；字母B所在的椭圆表示参加径赛的人数12人；字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示既参加田赛又参加径赛的人数7人；字母D所在的空白部分表示没有参加比赛的人数21人。

根据容斥原理一，可求出参赛总人数为：15+12-7=20（人）。

全班人数即参赛人数与没有参加比赛的人数之和：20+21=41（人）。

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